TEOREMA DE BAYES

 Olá! É sempre um prestígio ter você aqui.

Nesta publicação, você aprenderá sobre:

• teorema de Bayes; 
• independência entre eventos, 
• provas repetidas e independentes, 
• eventos mutuamente exclusivos.

Desejo a você uma boa aprendizagem!

A probabilidade condicionada, isto é, a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro ocorreu, leva-nos à relação

Também podemos escrever

Assim, a interseção entre A e B podem ser dadas pelos produtos:

 Podemos também escrever:

 O resultado mais relevante, nesse contexto é o seguinte teorema:

 Por indução, tem-se que:

 sendo os A_i eventos quaisquer.

Calma! Vamos fazer com 3, primeiro?

 Tudo bem até aí? Perceba que temos mais uma interseção para “desmembrar”. Isto é:

Agora ficou mais fácil visualizar a expressão com n eventos.

Vamos a outro teorema de grande importância em probabilidade: o teorema de Bayes.

Considere que os eventos

 formem uma partição de um espaço amostral S. Isto significa que são mutuamente exclusivos, e que sua união resulta em S. Considere outro evento qualquer de S, digamos B. Então:

 Disso, segue-se que

E do Teorema da Multiplicação:

Sabemos ainda que, para qualquer evento A_i, a probabilidade condicional de A_i dado B é dada por:

 Fazendo as substituições adequadas, temos:

 Isto é, o Teorema de Bayes.

Vejamos alguns exemplos da utilidade desse teorema.

Primeiro exemplo: considere que três robôs – A, B, e C – são responsáveis por 50%, 30%, e 20% de todas as operações num pregão da bolsa de valores brasileira. As percentagens de operações com prejuízo desses robôs são 3%, 4% e 5%, nesta ordem. Se uma operação for escolhida aleatoriamente, qual a probabilidade de ela ter resultado em prejuízo?

Para início, você precisa enxergar as relações entre os eventos dados. Você sabe que a operação deve resultar em prejuízo, mas não sabe de que robô ela partiu. Portanto, devemos considerar a probabilidade conjunta das interseções entre “operação com prejuízo” e “partiu do robô Y”, para este resultado. Em símbolos, sendo D a “operação com prejuízo”:

Isto é:

 Segundo exemplo: dadas as condições do primeiro exemplo, foi escolhida aleatoriamente uma operação. Calcule a probabilidade de ela ter sido disparada pelo robô A.

Agora você tem a probabilidade da “operação com prejuízo”, calculada no primeiro exemplo, e quer a probabilidade de ter sido disparada pelo robô A. Isto é, a probabilidade de A, dado que D ocorreu.

 Exercício 1: para a situação do segundo exemplo, calcule a probabilidade de a operação que resultou em prejuízo ter partido do robô B. Depois, calcule para o robô C.

Exercício 2: use diagramas de árvore para resolver o primeiro exemplo.

 Quando a probabilidade de um evento A ocorrer não afetar a probabilidade de outro evento B ocorrer, dizemos que A é independente de B. Mas isso significa que a probabilidade de A dado B é a própria probabilidade de A:

 Sendo assim, também vale que

 A última igualdade servirá como definição para eventos independentes.

Vamos definir o seguinte experimento: três lançamentos de uma moeda não viciada. Se usarmos X para cara e U para coroa, o espaço equiprovável é

S = {XXX. XXU, XUX, UXX, XUU, UXU, UUX, UUU }

Sejam os eventos

A = {primeiro lançamento é U},

B = {segundo lançamento é U}, e

C = {ocorre XX, isto é, exatamente duas caras consecutivas}.

Exercício 3: verifique as relações de dependência ou independência entre os três eventos listados.

No exercício 3, é fácil verificar, usando a definição matemática de independência, as relações citadas. Mas eu gostaria de que você explicasse, com palavras, cada relação.

Exemplo 1: Na próxima semana, a probabilidade de a ação A subir na próxima semana é de ¼, enquanto a probabilidade de a ação B subir é de 2/5. Sabendo que os preços dessas ações não se influenciam mutuamente, qual a probabilidade de que uma delas suba na próxima semana?

Considere A = {alta da ação A na próxima semana}, e B = {alta da ação B na próxima semana}. Desde que os eventos são independentes, temos:

 Ou seja, a probabilidade de que uma das duas suba é de 0,55, ou seja, 55%.

Exercício 4: em uma competição de tiro ao alvo, Camilo tem 1/3 de chances de acertar o alvo, enquanto Wagner tem 3/4 de chances de acertar o alvo. Se ambos atiram no alvo, qual é a probabilidade de o alvo ser atingido?

Pegando carona no nosso exercício 4, podemos formular um exemplo para falar de outro conceito, que na verdade já apareceu de forma indireta acima. É o seguinte: suponha que Wagner seja capaz de acertar o alvo com probabilidade de 0,95, e que ele atirará 30 vezes. Temos aí, um fenômeno que tem apenas dois resultados possíveis: acertar ou errar o alvo. Ainda mais, a probabilidade de acertar ou errar continuam as mesmas para cada uma das 30 repetições.

Para esse tipo de fenômeno, frequentemente chamamos um resultado de sucesso e o outro de fracasso. As probabilidades de um e de outro serão representadas, respectivamente por p e q. O número de repetições será representado por n.

Mais especificamente, se o experimento pode ser repetido um número fixo de vezes, os resultados das provas não se afetam mutuamente (são independentes), só há dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e as probabilidades são constantes, estamos diante de uma distribuição de probabilidade binomial.

Por exemplo, cada lâmpada testada, de um conjunto de 5 lâmpadas selecionadas aleatoriamente em uma fábrica, acende ou não acende. Podemos dizer que 5 é o número de repetições, que o sucesso é acender e que o fracasso é não acender. Precisamos das probabilidades de acender e de não acender.

Digamos, então, que a probabilidade de acender serja 0,98 e, daí, a probabilidade de não acender é 0,02. Poderíamos estar interessados em saber qual a probabilidade de que duas das cinco lâmpadas não acendam.

Já sabemos que as provas são independentes e que podemos multiplicar as probabilidades, de sucesso (não acende) e de fracasso (acende):

(0,02)(0,02)(0,98)(0,98)(0,98) = (0,02)²(0,98)³ = 0,00038

Mas falta saber de quantas maneiras podemos retirar duas lâmpadas entre cinco.

 Agora basta multiplicar 0,00038  10 = 0,0038 ou 0,38% de chances de que duas não acendam.

Em casos desse tipo, surge uma variável aleatória (VA) X no espaço amostral S de um experimento. A VA é uma função de S no conjunto dos números reais R, tal que cada intervalo em R tem como imagem inversa um evento de S.

A partir da VA, obtemos o que se chama de distribuição de probabilidade, que também é uma função (de probabilidade) de X, definida pela associação de uma probabilidade a cada ponto de x de X(S) = {x₁, x₂, …, x_n}.

Por aqui ficamos, mas você continua com o compromisso de resolver mais exercícios sobre esse assunto. Aproveite para compartilhar seus exercícios resolvidos com seus colegas, pois Aprender é a nossa Melhor Habilidade!

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Um forte abraço e até breve!