RESOLVENDO UMA EQUAÇÃO INTEGRAL

Olá! É sempre um prestígio ter você aqui.

Nesta publicação, você aprenderá a resolver uma equação integral por meio de um exemplo*, seguindo seis passos.

Uma equação integral envolve uma função desconhecida e uma integral envolvendo essa mesma função.

Resolveremos a equação:

$y(x)=2+{\int }_2^x[t-\mathit{ty}(t)]\mathit{dt}$

(1)

1. Passo 1)Determinando uma condição inicial.

   Basta se lembrar de que a integral é nula quando os limites de integração são iguais. Assim, em x = 2, a equação (1) retorna y = 2.

2. Passo 2)Derivar a equação (1).

   A derivada de (1) é a derivada da constante 2, que é zero, somada à derivada da integral, que é igual ao integrando aplicando x à variável t, em razão do Teorema Fundamental do Cálculo:

$y\text{'}(x)=x-\mathit{xy}(x)$

(2)

1. Essa é uma equação separável. Portanto:

$y\text{'}(x)=x(1-y(x))$

(3)

Podemos reescrevê-la:

$\frac{y\text{'}(x)}{1-y(x)}=x$

(4)

Desde que essa expressão nos conduz a uma inconsistência, vamos escrevê-la como:

$\frac{y\text{'}(x)}{y(x)-1}=-x$

(5)

1. Passo 3)Integrar (5)

Do lado direito de (5), temos a derivada de

$\ln \text{|}y(x)-1\text{|}+C_0$

. Agrupando as constantes em uma só, temos:

$\ln \text{|}y(x)-1\text{|}=\frac{-x^2}{2}+C$

(6)

1. Passo 4)Determinar a constante C.

Basta usar nossa condição inicial, isto é, y(2) = 2.

$\ln \text{|}y(2)-1\text{|}=\frac{-2^2}{2}+C\to 0=\ln \text{|}2-1\text{|}=-2+C\to C=2$

1. Passo 5)Aplicar a exponencial a ambos os lados de (6).

A função exponencial é a inversa da função logarítmica natural. Assim:

$\text{|}y(x)-1\text{|}=e^{2-x^2/2}$

(7)

Desde que o lado direito é sempre positivo, podemos escrever:

$y(x)-1=e^{2-x^2/2}$

(8)

Por fim:

$y(x)=1+e^{2-x^2/2}$

(9)

2. Passo 6)Refaça os 5 passos anteriores, sem olhar pelo exemplo.

Desejo a você uma excelente aprendizagem, pois APRENDER É A NOSSA MELHOR HABILIDADE!

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Forte abraço e até brevíssimo!

* O exemplo dado aqui é o exercício 35 da seção 9.3 da nona edição do livro Cálculo, volume 2, de J. Stewart, D. Clegg, S. Watson, pela editora Cengage.