Resolução de problemas envolvendo juros simples e juros compostos

Por Marocos Pinnto *

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É sempre um prestígio ter você aqui!

Os sistemas de capitalização simples e composta diferem quanto à convenção de que os juros apurados no período anterior sejam adicionados ou não ao capital inicial para o cálculo dos juros no período atual.

Aqui resolvemos duas questões adaptadas do concurso para contador judiciário do Tribunal de Justiça de São Paulo, aplicado em 2019 pela FUNESP.

Na primeira questão, são dados um montante de 44.089,00R$, obtidos de uma aplicação por dois períodos, remunerados a uma taxa de 8% ao período. Usamos M = X(1+i)^n, onde M é o montante, i é a taxa, n é o número de períodos. Substituindo na fórmula os valores dados, isolamos X e obtemos 37.800,00R$.

Na segunda questão, temos a comparação entre dois investimentos. O objetivo é calcular o valor do capital inicial a partir dos dados fornecidos na primeira opção de investimento e usar esse capital para calcular os juros auferidos na segunda opção de investimento. O primeiro cálculo é similar ao da primeira questão. O enunciado dá 13.005,00R$ como montante da primeira opção, resultado da remuneração de um capital aplicado por dois períodos, a uma taxa de 2% ao período. Com esses dados, obtemos 12.500,00 R$, que é o capital inicial. Na segunda opção, são dados o número de meses, que é 8, a taxa aplicada, que é 8,4%, mas não o capital, obtido a partir da primeira opção. Aplicando o valor do capital à fórmula dos juros simples, J = Cin, onde J são os juros, C é o capital, i é a taxa, e n o número de períodos, obtemos 700,00 R$.

Observe que o número de períodos deve ser dividido por 12, pois a capitalização é anual, mas o período de aplicação é de 8 meses.

Você pode acompanhar a resolução no vídeo.

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* Professor de matemática financeira, doutor em engenharia, especialista em EaD.

Escreveu Estatística Básica para quem não é especialista, entre outras publicações.

Diante das quedas na B3, quem não quer saber o que fazer?

Quando a bolsa cai, tudo o que levou à queda é irrelevante do ponto de vista prático, pois está no passado e não temos controle sobre ele.

Por outro lado, entender as correlações possíveis entre o movimento de venda quase generalizado e os acontecimentos macroeconômicos pode servir para buscar sinais de orientação para o futuro.

Sempre que alguém me pergunta o que levou a B3 a cair, respondo que foi o desejo generalizado de vender que predominou sobre o de comprar. Apesar de ser em tom de brincadeira, em última instância, é a verdade inquestionável.

Agora vamos aos acontecimentos que podem ter influenciado esse desejo de sair das posições compradas, passando para as posições vendidas.

Juros – aumento da taxa de juros, em geral, faz com que o valuation das companhias seja diminuído, pois o fluxo de caixa futuro é precificado por uma fórmula que tem em seu denominador uma taxa de juros. Consequentemente, aumentar a taxa de juros diminui o valor desse fluxo de caixa, fazendo com que, até os fundamentalistas, reavaliem se suas posições compradas ainda valem a pena, quando comparadas a outros investimentos. Agora, se o aumento da taxa de juros básica ocorre em na economia considerada a mais segura do mundo, é fácil entender por que o capital estrangeiro voa daqui. Os retornos esperados na B3 podem não ser suficientes para competir com uma alta da taxa de juros nos EUA e, assim, o chamado hot-money vai embora mesmo. Novamente, muita gente querendo vender, pouca gente com vontade de comprar, preços desabam.

Por exemplo: por que eu correria os riscos na B3 por um ganho de 10% se no investimento mais seguro do país eu posso ganhar 12,75%? Não faz sentido, do ponto de vista econômico, eu continuar com um papel que me ofereça menos que um Tesouro Selic, concorda?

Se muitas pessoas chegam a essa mesma conclusão, haverá muitos vendedores, o que pressionará os preços para baixo. Quanto mais o preço desse, mais gatilhos de stop são disparados, aumentando o número de vendedores em competição pelo melhor preço, o que fará os preços diminuírem ainda mais. Claro que isso não continua indefinidamente, pois, chegará um momento em que o preço chegará a ser uma oportunidade diante daquele mesmo fluxo de caixa que estava depreciado, daí entram novos compradores e o preço para de cair, ou mesmo começa a subir.

Outros fatos também têm um impacto negativo sobre a B3, pela razão mais óbvia possível: ninguém quer perder dinheiro. Então, o que acontece se a guerra da Ucrânia contra a Rússia se prolonga, aumentam os embargos econômicos que acabam prejudicando o mundo todo? Ou se a China anuncia um novo e rigoroso lock-down em uma de suas mais importantes cidades, deixando o mundo inteiro atento, novamente, com toda a razão, com medo de começar tudo de novo, como no início de 2020? As pessoas venderão seus ativos de maior risco e procurarão ativos mais estáveis.

Além disso, temos um ano de eleição presidencial. As incertezas são enormes, pois estamos diante de dois cenários quase que totalmente antagônicos em termos de condução da economia. E a chamada terceira via é ainda mais diferente dos dois principais candidatos.

Por fim, acredito que todo mundo gostaria de ouvir “o que deveria fazer”. O que tenho a dizer sobre isso é que, se eu soubesse, eu já teria feito ☺

Um forte abraço e até brevíssimo!

Taxa de Juro Implícita com Newton-Raphson: aplicação no Scilab

/*Calcula a raiz da função 
V(i)= -C+sum[pj(1+i)^{-j}], j=1:12, com pj fixo.
pelo método de Newton-Raphson

Marcos R Pinnto
*/

clear;
function newton_raphson(C, pj, n, x0, e1)
    //C capital
    //pj é o valor da prestação fixa
    //n é o número de períodos
    //x0 1a aproximação dada pelo usuário
    //e1 epsilon 1  
    function [y]=f(x)
        SP = 0;
        for j=1:n
            SP = SP+(1+x)^(-j);
        end
        y=-C+pj*SP;
    endfunction
    function [dy]=df(x)
        sp = 0;
        for j=1:n
            sp = sp-j*(1+x)^(-j-1);
        end
        dy=pj*sp;
    endfunction
    x=0;
    while abs(f(x0))>e1 
        x = x0 - f(x0)/df(x0);
        x0 = x;
    end
    printf('\nEm percentual, a taxa de juros periódica é %g',100*x);
endfunction
/*Exemplo: Calcular a taxa implícita de juros sobre R$ 500,00 a serem
pagos em 12 prestações iguais de R$ 55,00.

Use a função da seguinte forma:

newton_raphson(500,12,55,0.01,0.0001)
*/