Polinômios de Lagrange

 Olá! É sempre um prestígio ter a sua visita.

Nesta publicação, você acompanhará um passo a passo para aplicar os Polinômios de Lagrange.

Para melhorar seu desempenho ao usar nosso conteúdo para estudar, tenha papel e caneta em mãos para anotar conceitos, fórmulas  e deduções. Isso melhora a sua atenção. Depois, reformule as principais partes usando suas próprias palavras. Por último, pratique repetindo o procedimento prático mostrado no final, mas sem consulta. Pratique até ganhar confiança de que não precisa mais das anotações.

Desejo a você uma excelente aprendizagem.

Passo 1: Entender o conceito

• Os polinômios de Lagrange são uma maneira de interpolar um conjunto de pontos usando um único polinômio.
• Eles são úteis quando se deseja encontrar um polinômio que passe por um conjunto específico de pontos conhecidos.

Passo 2: Formulação dos polinômios de Lagrange

• Dado um conjunto de $�+1$ pontos $({�}_0,{�}_0),({�}_1,{�}_1),\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},({�}_{�},{�}_{�})$, os polinômios de Lagrange podem ser escritos como:

Li​(x)=∏j=0,j=in​xi​−xj​x−xj​​ onde $�=0,1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},�$.

Passo 3: Construção do polinômio interpolador

• O polinômio interpolador pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios de Lagrange multiplicados pelos valores $�$ correspondentes aos pontos conhecidos: $�(�)={\sum }_{�=0}^{�}{�}_{�}\cdot {�}_{�}(�)$

Passo 4: Implementação

• Escreva uma função para calcular os polinômios de Lagrange e outra para calcular o polinômio interpolador.

Passo 5: Exemplo prático

Suponha que queremos interpolar os pontos $(1,2),(2,3),(3,5)$.

Passo 5.1: Calcular os polinômios de Lagrange: ${�}_0(�)=\frac{(�-2)(�-3)}{(1-2)(1-3)}=\frac{(�-2)(�-3)}{2}$ ${�}_1(�)=\frac{(�-1)(�-3)}{(2-1)(2-3)}=2(�-1)(�-3)$ ${�}_2(�)=\frac{(�-1)(�-2)}{(3-1)(3-2)}=\frac{(�-1)(�-2)}{2}$

Passo 5.2: Construir o polinômio interpolador: $�(�)=2\cdot \frac{(�-2)(�-3)}{2}+3\cdot 2(�-1)(�-3)+5\cdot \frac{(�-1)(�-2)}{2}$

Passo 5.3: Simplificar o polinômio interpolador: $�(�)=(�-2)(�-3)+3(�-1)(�-3)+5(�-1)(�-2)$

Passo 5.4: Expandir e simplificar o polinômio para obter $�(�)$.

Passo 5.5: O polinômio resultante é o polinômio interpolador que passa pelos pontos dados.

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* Publicação facilitada pelo ChatGPT da OpenIA (digitação de fórmulas).