RESOLVENDO UMA EQUAÇÃO INTEGRAL

Olá! É sempre um prestígio ter você aqui.

Nesta publicação, você aprenderá a resolver uma equação integral por meio de um exemplo*, seguindo seis passos.

Uma equação integral envolve uma função desconhecida e uma integral envolvendo essa mesma função.

Resolveremos a equação:

$y(x)=2+{\int }_2^x[t-\mathit{ty}(t)]\mathit{dt}$

(1)

1. Passo 1)Determinando uma condição inicial.

   Basta se lembrar de que a integral é nula quando os limites de integração são iguais. Assim, em x = 2, a equação (1) retorna y = 2.

2. Passo 2)Derivar a equação (1).

   A derivada de (1) é a derivada da constante 2, que é zero, somada à derivada da integral, que é igual ao integrando aplicando x à variável t, em razão do Teorema Fundamental do Cálculo:

$y\text{'}(x)=x-\mathit{xy}(x)$

(2)

1. Essa é uma equação separável. Portanto:

$y\text{'}(x)=x(1-y(x))$

(3)

Podemos reescrevê-la:

$\frac{y\text{'}(x)}{1-y(x)}=x$

(4)

Desde que essa expressão nos conduz a uma inconsistência, vamos escrevê-la como:

$\frac{y\text{'}(x)}{y(x)-1}=-x$

(5)

1. Passo 3)Integrar (5)

Do lado direito de (5), temos a derivada de

$\ln \text{|}y(x)-1\text{|}+C_0$

. Agrupando as constantes em uma só, temos:

$\ln \text{|}y(x)-1\text{|}=\frac{-x^2}{2}+C$

(6)

1. Passo 4)Determinar a constante C.

Basta usar nossa condição inicial, isto é, y(2) = 2.

$\ln \text{|}y(2)-1\text{|}=\frac{-2^2}{2}+C\to 0=\ln \text{|}2-1\text{|}=-2+C\to C=2$

1. Passo 5)Aplicar a exponencial a ambos os lados de (6).

A função exponencial é a inversa da função logarítmica natural. Assim:

$\text{|}y(x)-1\text{|}=e^{2-x^2/2}$

(7)

Desde que o lado direito é sempre positivo, podemos escrever:

$y(x)-1=e^{2-x^2/2}$

(8)

Por fim:

$y(x)=1+e^{2-x^2/2}$

(9)

2. Passo 6)Refaça os 5 passos anteriores, sem olhar pelo exemplo.

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Forte abraço e até brevíssimo!

* O exemplo dado aqui é o exercício 35 da seção 9.3 da nona edição do livro Cálculo, volume 2, de J. Stewart, D. Clegg, S. Watson, pela editora Cengage.

TEOREMA DE BAYES

 Olá! É sempre um prestígio ter você aqui.

Nesta publicação, você aprenderá sobre:

• teorema de Bayes; 
• independência entre eventos, 
• provas repetidas e independentes, 
• eventos mutuamente exclusivos.

Desejo a você uma boa aprendizagem!

A probabilidade condicionada, isto é, a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro ocorreu, leva-nos à relação

Também podemos escrever

Assim, a interseção entre A e B podem ser dadas pelos produtos:

 Podemos também escrever:

 O resultado mais relevante, nesse contexto é o seguinte teorema:

 Por indução, tem-se que:

 sendo os A_i eventos quaisquer.

Calma! Vamos fazer com 3, primeiro?

 Tudo bem até aí? Perceba que temos mais uma interseção para “desmembrar”. Isto é:

Agora ficou mais fácil visualizar a expressão com n eventos.

Vamos a outro teorema de grande importância em probabilidade: o teorema de Bayes.

Considere que os eventos

 formem uma partição de um espaço amostral S. Isto significa que são mutuamente exclusivos, e que sua união resulta em S. Considere outro evento qualquer de S, digamos B. Então:

 Disso, segue-se que

E do Teorema da Multiplicação:

Sabemos ainda que, para qualquer evento A_i, a probabilidade condicional de A_i dado B é dada por:

 Fazendo as substituições adequadas, temos:

 Isto é, o Teorema de Bayes.

Vejamos alguns exemplos da utilidade desse teorema.

Primeiro exemplo: considere que três robôs – A, B, e C – são responsáveis por 50%, 30%, e 20% de todas as operações num pregão da bolsa de valores brasileira. As percentagens de operações com prejuízo desses robôs são 3%, 4% e 5%, nesta ordem. Se uma operação for escolhida aleatoriamente, qual a probabilidade de ela ter resultado em prejuízo?

Para início, você precisa enxergar as relações entre os eventos dados. Você sabe que a operação deve resultar em prejuízo, mas não sabe de que robô ela partiu. Portanto, devemos considerar a probabilidade conjunta das interseções entre “operação com prejuízo” e “partiu do robô Y”, para este resultado. Em símbolos, sendo D a “operação com prejuízo”:

Isto é:

 Segundo exemplo: dadas as condições do primeiro exemplo, foi escolhida aleatoriamente uma operação. Calcule a probabilidade de ela ter sido disparada pelo robô A.

Agora você tem a probabilidade da “operação com prejuízo”, calculada no primeiro exemplo, e quer a probabilidade de ter sido disparada pelo robô A. Isto é, a probabilidade de A, dado que D ocorreu.

 Exercício 1: para a situação do segundo exemplo, calcule a probabilidade de a operação que resultou em prejuízo ter partido do robô B. Depois, calcule para o robô C.

Exercício 2: use diagramas de árvore para resolver o primeiro exemplo.

 Quando a probabilidade de um evento A ocorrer não afetar a probabilidade de outro evento B ocorrer, dizemos que A é independente de B. Mas isso significa que a probabilidade de A dado B é a própria probabilidade de A:

 Sendo assim, também vale que

 A última igualdade servirá como definição para eventos independentes.

Vamos definir o seguinte experimento: três lançamentos de uma moeda não viciada. Se usarmos X para cara e U para coroa, o espaço equiprovável é

S = {XXX. XXU, XUX, UXX, XUU, UXU, UUX, UUU }

Sejam os eventos

A = {primeiro lançamento é U},

B = {segundo lançamento é U}, e

C = {ocorre XX, isto é, exatamente duas caras consecutivas}.

Exercício 3: verifique as relações de dependência ou independência entre os três eventos listados.

No exercício 3, é fácil verificar, usando a definição matemática de independência, as relações citadas. Mas eu gostaria de que você explicasse, com palavras, cada relação.

Exemplo 1: Na próxima semana, a probabilidade de a ação A subir na próxima semana é de ¼, enquanto a probabilidade de a ação B subir é de 2/5. Sabendo que os preços dessas ações não se influenciam mutuamente, qual a probabilidade de que uma delas suba na próxima semana?

Considere A = {alta da ação A na próxima semana}, e B = {alta da ação B na próxima semana}. Desde que os eventos são independentes, temos:

 Ou seja, a probabilidade de que uma das duas suba é de 0,55, ou seja, 55%.

Exercício 4: em uma competição de tiro ao alvo, Camilo tem 1/3 de chances de acertar o alvo, enquanto Wagner tem 3/4 de chances de acertar o alvo. Se ambos atiram no alvo, qual é a probabilidade de o alvo ser atingido?

Pegando carona no nosso exercício 4, podemos formular um exemplo para falar de outro conceito, que na verdade já apareceu de forma indireta acima. É o seguinte: suponha que Wagner seja capaz de acertar o alvo com probabilidade de 0,95, e que ele atirará 30 vezes. Temos aí, um fenômeno que tem apenas dois resultados possíveis: acertar ou errar o alvo. Ainda mais, a probabilidade de acertar ou errar continuam as mesmas para cada uma das 30 repetições.

Para esse tipo de fenômeno, frequentemente chamamos um resultado de sucesso e o outro de fracasso. As probabilidades de um e de outro serão representadas, respectivamente por p e q. O número de repetições será representado por n.

Mais especificamente, se o experimento pode ser repetido um número fixo de vezes, os resultados das provas não se afetam mutuamente (são independentes), só há dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e as probabilidades são constantes, estamos diante de uma distribuição de probabilidade binomial.

Por exemplo, cada lâmpada testada, de um conjunto de 5 lâmpadas selecionadas aleatoriamente em uma fábrica, acende ou não acende. Podemos dizer que 5 é o número de repetições, que o sucesso é acender e que o fracasso é não acender. Precisamos das probabilidades de acender e de não acender.

Digamos, então, que a probabilidade de acender serja 0,98 e, daí, a probabilidade de não acender é 0,02. Poderíamos estar interessados em saber qual a probabilidade de que duas das cinco lâmpadas não acendam.

Já sabemos que as provas são independentes e que podemos multiplicar as probabilidades, de sucesso (não acende) e de fracasso (acende):

(0,02)(0,02)(0,98)(0,98)(0,98) = (0,02)²(0,98)³ = 0,00038

Mas falta saber de quantas maneiras podemos retirar duas lâmpadas entre cinco.

 Agora basta multiplicar 0,00038  10 = 0,0038 ou 0,38% de chances de que duas não acendam.

Em casos desse tipo, surge uma variável aleatória (VA) X no espaço amostral S de um experimento. A VA é uma função de S no conjunto dos números reais R, tal que cada intervalo em R tem como imagem inversa um evento de S.

A partir da VA, obtemos o que se chama de distribuição de probabilidade, que também é uma função (de probabilidade) de X, definida pela associação de uma probabilidade a cada ponto de x de X(S) = {x₁, x₂, …, x_n}.

Por aqui ficamos, mas você continua com o compromisso de resolver mais exercícios sobre esse assunto. Aproveite para compartilhar seus exercícios resolvidos com seus colegas, pois Aprender é a nossa Melhor Habilidade!

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Um forte abraço e até breve!

MEDIDAS DE DISPERSÃO

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Desejo a você uma boa aprendizagem.

Nesta publicação você aprenderá sobre Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão, e Coeficiente de Variação.

Introdução

Como você pode desconfiar pelo nome, medida de dispersão mede o quanto disperso estão os dados, ou seja, mede uma distância entre os dados.

Por exemplo, considere que um aluno tem a média em uma disciplina igual a 8. Essa informação é suficiente para que saibamos que o aluno foi aprovado naquela disciplina. Mas não sabemos se o desempenho dele foi o mesmo em todos os tópicos abordados e seria justamente essa conclusão que poderíamos ter se usássemos apenas a média aritmética. Digamos que este aluno foi submetido a 5 provas escritas, cujas notas foram usadas para calcular a média aritmética e que cada prova correspondeu a um dos tópicos apresentados. Uma medida de dispersão pode nos dar uma pista de que algum fato inusitado possa ter acontecido. No nosso exemplo, o aluno poderia ter tirado nota 10 em 4 provas e zero em uma das 5 provas que fez. A medida de dispersão vai nos ajudar a captar essa informação, embora não sejamos capazes de saber o motivo da discrepância entre as 4 notas 10 e a nota zero.

Desvio Médio

O desvio médio (DM) serve para medir a distância média entre os dados e a média e é calculado usando as seguintes expressões para dados não agrupados

Se os dados estão agrupados, inserem-se as respectivas frequências para multiplicar as diferenças entre o elemento e sua média

X é o ponto médio da i-ésima classe e f, a frequência a ele associada.

Variância

Qual é a distância de cada elemento em relação ao valor central? Quem responde a essa pergunta é a variância. A letra grega é σ² usada para representar a variância – ou segundo momento de uma distribuição – de uma população, enquanto S² representa a variância em uma amostra.

Para dados não agrupados, a variância é dada por

Em se tratando de dados agrupados, inserimos valores médios de cada classe e a respectiva frequência. O cálculo passa a ser dado por

Existe outra fórmula para calcular a variância e ela é dada a seguir:

Acima, a soma das observações A e das observações B são dadas, respectivamente, por 

A soma de seus quadrados, por 

Sendo as quantidades de valores observados de A e de B representados por η_A e η_B, nesta ordem.

Desvio Padrão

Quanto estão próximos ou distantes da média os valores que foram usados para seu cômputo? Este é o papel do desvio padrão que é obtido a partir da fórmula abaixo:

Coeficiente de Variação (CV)

Também conhecido como desvio padrão relativo (DPR) é aplicado como medida de dispersão para distribuições de probabilidade ou distribuições de frequência. Seu cálculo é feito empregando-se a fórmula:

Amplitude

A amplitude mede a diferença entre o maior e o menor valor dentre os valores observados. Logo, para calcular a amplitude, é necessário ordenar o conjunto de observações. A ordenação é uma operação estatística.

Exemplo: dadas as observações 2, 6, 10, 4, 4, 5, 7, 3, 9, 1, 1, qual seria sua amplitude? Primeiramente, ordene os dados: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 9, 10. Agora fica fácil reconhecer os valores máximo e mínimo das observações. Portanto a amplitude é 10 – 1 = 9.

E se os dados fossem agrupados, você acha que poderia calcular a amplitude? Como esse cálculo deveria ser feito?

Finalizamos por aqui. Foi muito bom compartilhar isso com você, pois APRENDER É A NOSSA MELHOR HABILIDADE!

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Até brevíssimo!

FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO

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Nesta publicação, você verá as etapas do trabalho estatístico.

Definição do Problema: qual é o seu objeto de estudo? O que você pretende resolver? Qual a informação que você quer gerar?

Planejamento: evidentemente, começa no item anterior, mas inclui outros procedimentos, tais como a definição das perguntas a serem feitas nos questionários, o cronograma da pesquisa, a população, os instrumentos que serão utilizados, as técnicas que serão aplicadas.

Coleta de Dados: ao se levantar os dados primitivos, está-se fazendo o que se chama de coleta direta, feita a partir de fontes originais. Caso a pesquisa se baseie em dados secundários, significa que a fonte não é a original, mas a partir de um banco de dados já organizado por terceiros. Por exemplo: se você visita os pluviômetros de uma região e coleta suas medições, você está fazendo uma coleta direta; caso você acesse o site da FUNCEME e colete os dados ali disponíveis, você está fazendo uma coleta indireta.

Apreciação ou Crítica: uma vez coletados, os dados devem ser verificados para levantar eventuais erros das mais variadas fontes. Tais erros podem conduzir a conclusões equivocadas sobre o fenômeno estudado. Exemplo disso, são a coleta de dados de chuva, que podem ter sido inseridos de forma errada pelo usuário (erros de digitação, etc) e podem levar a tomar decisões equivocadas sobre a gestão das águas (tanto para mais quanto para menos). Digamos que, após a análise dos dados erroneamente inseridos, concluiu-se que não era necessário um racionamento, quando na verdade era preciso racionar água. O resultado pode ser o colapso no abastecimento.

Apuração dos dados: é a fase onde se contam os dados, somando-os ou classificando-os.

Apresentação ou exposição: os resultados obtidos nas fases antecedentes são exibidos, isto é, publicados ou mostrados.

Análise e Interpretação: aqui são feitas as medidas estatísticas, como medidas de dispersão, de tendência central, de dispersão, assimetria e curtose (no caso da estatística descritiva).

Antes de seguir adiante, vamos ver o conceito de Série Estatística: trata-se de uma tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados, considerando-se a época, o local, ou a espécie. Uma distribuição de frequência é a série onde os dados são agrupados em classes de acordo com as respectivas frequências. As classes são intervalos com limites predeterminados.

Exemplos:

Classes (Telefonemas recebidos)	Frequência (número de horas)		Classes (Altura de alunos em cm)	Frequência (número de alunos)
2	1		140├150	78
5	3		150├160	43
9	6		160├170	29
Total	10		Total	150

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Até brevíssimo!

Adaptado de:

Pinnto, Marcos. Estatística Básica: para quem não é especialista. 2a ed., Fortaleza, 918641, 2021.

CÁLCULO DO PREÇO MÉDIO ON-LINE (APLICAÇÃO EM JAVA SCRIPT)

 O cálculo do preço médio de compras de ações é simplesmente uma média ponderada dos preços pelas respectivas quantidades. Ou seja, os preços são a variáveis e as quantidades são os pesos. 

Obviamente, você precisa incluir os custos da operação nesse cálculo, o que difere um pouco da média ponderada simples.

Essencialmente, você tem a seguinte expressão, no caso de 3 compras:

(p1 x Q1 + c1 + p2 x Q2 + c2 +p3 x Q3 + c3)

p1 é o preço da primeira compra

Q1 é a quantidade da primeira compra

c1 é o custo da primeira compra

Os números 2 e 3 se referem à segunda e à terceira compra, respectivamente.

Fiz uma aplicação em JavaScript que pode ser acessada na página cujo link deixo aqui.

Cálculo do Preço Médio.

Ele abre uma janela pop-up para você digitar os valores. Preste atenção à pergunta da caixa.

Na sequência:

As perguntas são repetidas, a partir da segunda, para as demais compras.

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Até brevíssimo!
 

Exemplo de Integral Imprópria com Substituição Trigonométrica.

 Olá! É sempre um prestígio ter você aqui.

Nesta publicação, você aprenderá:

1. Tratar do caso em que um dos limites de integração tende ao infinito.

2. Efetuar uma substituição trigonométrica.

3. Calcular a derivada da função tangente.

1. Tratar do caso em que um dos limites de integração tende ao infinito.

Quando o integrando é descontínuo no intervalo de integração, podemos avaliar o valor da integral trocando o ponto em que ocorre a descontinuidade por uma variável, na qual será aplicada um limite quando esta variável tende para o ponto de descontinuidade.

No caso de um dos limites tender ao infinito, fazemos algo parecido, isto é, substituímos o símbolo infinito por uma variável e, depois de resolver a integral usando esta variável, fazemo-la tender ao infinito.

2. Efetuar uma substituição trigonométrica.

Quando há a possibilidade de usar relações trigonométricas para resumir a expressão no integrando, fazemos uma substituição trigonométrica. A escolha da função trigonométrica depende da relação que se deseja usar.

Na figura dada no tópico anterior, há uma relação envolvendo a soma da unidade com o quadrado da tangente. Por isso, escolhemos a função tangente para efetuar a substituição trigonométrica.

Como estamos trabalhando com a tangente, o ângulo não pode assumir o valor π/2, portanto, faz sentido para o exemplo de integral que temos. Assim, fazendo o ângulo tender para π/2, temos o comportamento de x tendendo para +⧞.

3. Calcular a derivada da função tangente.

A derivada da função tangente pode ser obtida pela derivação do quociente senθ/cosθ. Veja na figura seguinte os passos da derivação.

Assim, voltando à nossa substituição:

Substituindo na expressão original, temos:

Acompanhe passo a passo no vídeo:

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CONVERTER OCTAL PARA BINÁRIO, HEXADECIMAL PARA BINÁRIO

 Olá! É sempre um prestígio ter você aqui.

Neste artigo você aprenderá a:

1. Converter um número na base octal para a base binária.
2. Converter um número na base hexadecimal para a base binária.

CONVERTER UM NÚMERO NA BASE OCTAL PARA A BASE BINÁRIA

Primeiramente, temos de ter em mente que cada algarismo na base octal reúne três bits. Isto significa que precisaremos de três potências de 2 para escrever o número na base octal. A forma geral é a seguinte:

Acima, D é o dígito em octal, e bit pode assumir 0 ou 1, de acordo com o dígito. Caso o dígito fosse 3, teríamos a sequência de bits 011, pois 0 x 4 + 2 x 1 + 1 x 1 = 3. Vale lembrar que se esse fosse o primeiro algarismo, você não escreveria o primeiro zero, ficando apenas 11 na sua representação na base binária.

CONVERTER UM NÚMERO NA BASE HEXADECIMAL PARA A BASE BINÁRIA

Como na base octal, usaremos potências de 2, mas agora em número de quatro, pois na base hexadecimal cada dígito agrupa quatro bits. Assim, para converter o número 1F, escrevemos zeros para as três potências de dois mais a esquerda, isto é, 0 x 8 + 0 x 4 + 0 x 2, e 1 para a potência zero de dois, representando o dígito 1. 

Já para representar  o F, teríamos de usar 1 para todas as potências de dois, pois 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 é igual a 15, valor representado pelo F, na base hexadecimal.

Desse modo, o número 1F na base hexadecimal é representado na base binária por 11111.

De maneira geral, escrevemos:

Novamente, a sequência de bits da maior para a menor potência representa o algarismo na base binária.

Uma planilha pode ajudar você a acelerar sua aprendizagem. Preparei uma em ODS que pode ser aberta numa planilha do Google.

Nela você poderá converter rapidamente de octal para binário e de hexadecimal para binário, apenas escolhendo os bits corretos.

Na primeira coluna amarela, dispomos os algarismos do número que se deseja converter. Na segunda coluna amarela, os mesmos algarismos devem aparecer, se forem digitados os coeficientes corretos.

Na linha azul, dispomos as respectivas potências de dois, de acordo com a base. No corpo branco de ambas as tabelas (de B3 a D5 na octal, e de B10 a E12 na hexadecimal), digitamos os bits necessários para que a soma dos produtos de cada bit pela respectiva potência de dois resulte no algarismo desejado.

A sequência de bits concatenada aparece logo abaixo da tabela.

Você tem acesso gratuito à planilha acima neste link: Planilha de Conversão. 

Assista ao vídeo no meu canal do YouTube.

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